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한국어
  • 수다장

  • [re] 문제풀이 부탁드립니다.

    그냥끄적거려봤어요 2007.08.14 01:37 조회 수 : 2148 추천:4


    (문) 62500 원을 가지고 1000 원짜리 빵과 500 원짜리 우유를 사려고
         한다. 빵의 개수를 k 배 한 값과 우유의 개수를 더하면 그 합은
         125이다. 단, 빵이나 우유의 개수가 0이 되는  경우도 포함될 수
         있다.

      (a) k=1, 2인 경우, 62500 원을 모두 사용하여 살 수 있는 빵과 우유
          의 개수로 구성된 쌍은 각각 몇 개인가?

    위의 문제를 식으로 표현해보겠습니다.
    x=빵의 개수 y=우유의 개수
    kx + y = 125 .......① 1000x + 500y = 62500......②
                           약분해서 2x + y = 125로 쓰겠습니다.

    ① k=1 인 경우
    x + y = 125 와 2x + y = 125 의 교점인 (0,125) 뿐입니다.

    ② k=2 인 경우
    2x + y = 125 와 2x + y = 125 즉, 두 식이 같아지므로
    문제를 만족하는 순서쌍은
    (0,125) (1,123) .... (62,1) 즉 63개 입니다.

      (b) 앞의 (a) 문제를 행렬을 이용하여 표현하고, 각각의 경우에 대해
          행렬식의 값의 의미를 쌍의 수와 연관 지어 설명하시오.

    kx + y = 125 와
    2x + y = 125 의 교점을 구하는게 문제의 목적이므로(x,y가 영보다 크거나 같은 범위 내에서) 이를 행렬로 표현하면

    ( k  1 )(x) = (125)
    ( 2  1 )(y)   (125)

    ①인 경우의 행렬식은 1X1 - 1X2 = -1 즉 0이 아니기 때문에 역행렬이 존재하여 x,y는 유일한 해를 갖게 됩니다. 그래서 순서쌍이 1개가 되는거죠.

    ②인 경우의 행렬식은 2X1 - 1X2 = 0 즉 0이 되기 때문에 해가 무수히 많거나 존재하지 않게 됩니다. 그런데 두 식이 정확히 같기 때문에 해가 무수히 많이 존재하게 됩니다. 하지만 x,y는 0보다 크거나 같아야 하므로 해의 개수는 63개로 한정되는 것이겠지요.

      (c) k=1인 경우, 62500 원 이상을 사용하고 빵과 우유의 합이 125 개
          이하가 되는 빵과    우유의 개수로 구성된 쌍은 모두 몇 개인가?

    62500원 '이상'을 사용해야 하므로 ②번식이
    2x + y ≥ 125 됩니다.
    k=1 인 경우에서 빵과 우유의 합이 125개 이하이어야 하므로
    ①번식이 x + y ≤ 125 가 됩니다.

    두 식을 그래프로 그린다음 겹치는 부분과 x,y≥0 인 부분의 공통부분
    을 색칠하고 그 영역 안에서 존재하는 정수의 순서쌍의 개수가
    이 문제의 답이 되겠지요.

    먼저 y=0,1 일때 63개의 순서쌍이 존재합니다.
    (y=-2x+125 의 x절편은 125 이고 y=-x+125의 x절편은 62.5 이고
    125와 62.5 사이의 정수의 개수는 63개 이므로. y=1 일때 해봐도
    63개 입니다.)
         y=2,3 일때 62개의 순서쌍이 존재합니다. 규칙성이 보이죠.
         .
         .
         .
         y=124,125 일때 1개의 순서쌍이 존재합니다.

    1+2+...+62+63 묶음이 2개 이므로
    n(n+1)/2 X 2 에서 n에 63을 대입하여 값을 구하면
    4032 쌍이 나오는군요..-_-;
    상당히 큰 숫자네요..
    답이 무지 큰거 보니 약간 이상한거 같기도 하네요
    오늘은 졸려서 이만하고 내일 다시 확인해볼께요..

    좋은결과 있으셨으면 좋겠네요. 조금이라도 도움이 됐음 좋겠습니다^^