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  • 피타고라스수공식 페르마정리 사색문제 증명

    이재율 2005.10.10 16:06 조회 수 : 1720 추천:1

    leejaeyul5@yahoo.co.kr    
    http://blog.empas.com/leejaeyul5
    이재율(02-882-0830)

    "수천 년간 완전한 피타고라스 수 공식이 발견되지 못하여, 불완전한 공식들을 사용 중이고,
    400 년간 페르마 정리가 증명되지 못하여, 170 쪽 방대 난해한 비일반 추측적 증명 뿐이며,
    100 년간 4색문제를 증명하지 못하여, 인간논리 아닌 컴퓨터 의존 미확인 증명이 있습니다.
    본인과 협조인 들은 10 년간 연구 노력으로, 수년전 이들에 대한 간명한 증명을 발견하고,
    수개월 전부터 이 논문들을 정부 교육 학계에 제안하고 있는 것입니다."

    1. 피타고라스 수 공식과 페르마 정리 증명 :
       X^n+Y^n=Z^n 에서, 다음과 같은 식으로 페르마 정리를 증명할 수 있습니다.
    Z=Y+A=X+B. X-A=Y-B. G=(X-A)/(AB)^(1/n)=(Y-B)/(AB)^(1/n).  
    X=(AB)^(1/n)G+A. Y=(AB)^(1/n)G+B. Z=(AB)^(1/n)G+A+B.  G=Q{A^(n-2)/n+B^(n-2)/n}.  
    {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n.
      “페르마 정리에서 X, Y, Z 와 A, B 는 반드시 양의 유리수로 존재할 수가 있어야 함으로,  
    2{G+A^(n-2)/n}^n={G+2A^(n-2)/n}^n 에서는, 음의 무리수나 허수인 (n-1) 개의 G 와 양의 무리수인 한 개의 G 를 구할 수가 있게 될 것이며, 양의 무리수인 한 개의 G 는  
    G=[{2-2^(1/n)}/{2^(1/n)-1}]A^(n-2)/n 과 같이 나타낼 수 있어야만 한다.  
       Q=q{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2,  
    X=q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]+A,  
    Y=q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]+B,  
    Z=q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]+A+B.
       만약, n 이 3 이상의 모든 자연수에서, 양의 유리수 X, Y, Z 쌍이 존재한다고 가정을 한다면, A, B 는 양의 유리수가 될 수밖에 없고,  
    q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)] 은 무리수가 될 수밖에 없으며, 무리수와 유리수의 합인 상기 식의 X, Y, Z 는 무리수가 될 수밖에 없는 모순이 발생한다. n 이 3 이상의 모든 자연수에서, 양의 유리수 X, Y, Z 쌍이 존재한다고 가정함이 잘못이다.
       음의 무리수인 G 에 의하여, 양의 유리수 X, Y, Z 쌍이 존재한다고 가정을 한다면, 이 때 다시 양의 유리수인 A, B 가 존재할 수 있어야 하고, 양의 무리수인 G 에 의하여서도 식을 만족시켜야만 한다. 그러나 상기의 증명 내용과 같이 X, Y, Z 는 무리수가 될 수밖에 없는 모순이 발생하게 되는 것이다.”
       지금까지 피타고라스 수를 구하여 왔던, 불완전한 방법 3 가지를 아래에 명시합니다.    
    첫째방법 : X=2A+1,    Y=2A^2+2A,   Z=2A^2+2A+1.  
    둘째방법 : X=4A,       Y=4A^2-1,    Z=4A^2+1.  
    셋째방법 : X=A^2-B^2,   Y=2AB,     Z=A^2+B^2.  
    이 3 방법으로 정수 쌍들을 모두 구하려면, X, Y 를 바꾼 식이 한 쌍 더 필요함에 비하여,
    새로운 공식 X=(2AB)^(1/2)+A, Y=(2AB)^(1/2)+B, Z=(2AB)^(1/2)+A+B 에서는, A, B 숫자를 서로 바꿈으로서, 간명하고 완전하게 모든 피타고라스 수 쌍들을 구할 수가 있습니다.
    ____________________________________________________________________
    A^(1/2)      B^(1/2)   (2AB)^(1/2)    A        B        X        Y       Z
       1            2^(1/2)           2            1        2         3        4        5
    2^(1/2)          1                2            2        1         4        3        5
       1          2(2)^(1/2)         4            1        8         5       12       13
    2(2)^(1/2)      1                4            8        1        12        5       13
      0.1        0.1(2)^(1/2)     0.02        0.01    0.02    0.03     0.04    0.05
    0.1(2)^(1/2)   0.1            0.02        0.02    0.01    0.04     0.03    0.05
    10^(1/2)     20^(1/2)         20          10       20       30       40       50
    20^(1/2)     10^(1/2)         20          20       10       40       30       50
    ____________________________________________________________________
    2. 바다와 모든 나라들을 구분하는 4색 문제 증명 :  
       우리의 4색 문제 증명은 연역 논리적인 증명입니다.  
    모든 나라들이 임의의 한 점에 접하도록 그려 보면, 이 나라들이 3가지 이하의 색으로 충분하게 구분이 됨으로서, 4색 문제가 증명이 될 수 있는 것입니다.  
       한 점을 공유하는 모든 나라가 3색으로 구분됨으로, 한 나라의 국경선 일부를 공유하는 주변의 모든 나라들도 역시 3색으로 충분하게 구분될 수가 있기 때문입니다.
    3. 우리 논문의 첨부 파일은 이재율-엠파스카페, 다음카페, 야후클럽, 네이버블로그, 네이버카페, 프리첼섬과 대한수학회 자유토론방 등에도 있습니다.

    "세계적인 수학자들이 수백 년 동안 해결하지 못한 어려운 수학 문제를,  
    수학자가 아닌 이재율이 증명하였음을, 인정하기 싫은 수학자들도 많을 것입니다.
    자신의 고유 영역이 침범 당하였음을, 싫어하는 수학자들도 많을 것입니다.
    만일의 실수를 염려하여, 침묵하고 있는 수학자들도 많을 것입니다.
    진리를 부인하는 사람은, 당연하게 심적인 혼란과 고통을 받습니다.
    진리로 인정하기 싫음으로, 반론할 흠집을 찾고자 수고하여 애를 태우지만,  
    반론할 흠집을 찾을 수 없음으로 인한, 혼란과 고통입니다.
    궁극적인 진리 탐구에는, 영역이 구분되어서는 아니 됩니다.
    고유 영역이 아닌 분야에서 전문가는 거의 무지한 상태가 되어 버릴 수밖에 없는,
    현재 사회의 실상은 개선되어야만 할 필요가 있는 것입니다.  
    진리는 어떤 사람이 어떤 위치에서 말하여도 진리인 것입니다."

    제목 : 피타고라스 수 공식과 페르마 정리 증명
    1. 논문 초록
        X^n+Y^n=Z^n 에서, n 이 2 인 경우에, 3, 4, 5 등의 특별한 유리수인 피타고라스 수가 식을 만족시키는 사실은, 수천 년 전부터 알려져 왔다. 유명한 피타고라스 정리는 n 이 2 인 경우에, 직각 삼각형에서 3 변의 길이가 식을 만족시킴을 분명하게 보여준다. 그러나 n 이 1 이나 2 인 경우에, 정수들 만으로서도 식을 만족시킬 수 있는 이유에 대하여서는, 명확하게 규명된 것은 아니다. 또한 n 이 3 이상 자연수의 경우에 X, Y, Z 모두가 유리수들이 되어서는, 이 식을 만족시킬 수 없음도 잘 알려진 사실이다. n 이 3 이상 자연수의 경우 X, Y, Z 모두가 정수로서는 식을 만족시킬 수 없음에 대하여, 페르마는 아름다운 증명을 발견하였다고 적어 두었으나, 그의 증명 내용은 기록되어 있지 아니하여 알 수가 없다. 우리는, X, Y, Z 상호 간의 차로서 A=Z-Y, B=Z-X 등에 유의하여, 이들 상호 관계를 숙고하여 연구한 결과, 완전한 피타고라스 수 공식을 발견함과 동시에, 프린스턴 대학 와일즈 교수의 170쪽 복잡 난해한 증명에 비하여, 간명한 페르마 정리 증명을 발견하게 된 것이다.  
    2. 주요 용어
        Z=Y+A=X+B. G=(X-A)/(AB)^(1/n)=(Y-B)/(AB)^(1/n).  
    X=(AB)^(1/n)G+A. Y=(AB)^(1/n)G+B. Z=(AB)^(1/n)G+A+B.   G=Q{A^(n-2)/n+B^(n-2)/n}.  
    {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n.  
    Q=q{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2.  
    3. 본문
        X^n+Y^n=Z^n 에서,  
    Y+A=Z,
    X+B=Z 로 둔다.
       X+B=Y+A 를
    X-A=Y-B 로 변형하고, 양변을 (AB)^(1/n) 으로 나눈다.
    (X-A)/(AB)^(1/n)=(Y-B)/(AB)^(1/n).  
       다음과 같이 G 를 정한다.
    G=(X-A)/(AB)^(1/n)=(Y-B)/(AB)^(1/n).
       여기에서
    X=(AB)^(1/n)G+A,  
    Y=(AB)^(1/n)G+B,  
    Z=(AB)^(1/n)G+A+B 가 된다.
       이들을  
    X^n+Y^n=Z^n 에 대입함으로서,
    {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n 과 같은 형식이 된다.  
       350 년 전, 페르마는 매우 아름다고 경이로운 증명을 발견하였다고 기록하여 두었다. 우리는 페르마가 이 식을 발견하였을 것으로 믿고 있다.  
       {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n 에서,  
    n 이 1 과 2 인 경우에는, G 가 0 과 2^(1/2) 으로 확정됨에 비하여,  
    n 이 3 이상인 경우에는, G=F(A,B) 와 같이 A, B 의 함수로 표현될 수밖에 없다.
       n=1 인 경우에는,  
    G=0 이 됨으로서, (AB)^(1/n)G=0 이 되어,
    A+B=A+B 와 같이 되고,  
    X=A, Y=B, Z=A+B 로 되는 복소수들이 존재한다.
       n=2 인 경우에는,  
    G=2^(1/2) 이 됨으로서, (AB)^(1/n)G=(2AB)^(1/2) 이 되어,
    {(2AB)^(1/2)+A}^2+{(2AB)^(1/2)+B}^2={(2AB)^(1/2)+A+B}^2 과 같이 되고,  
    X=(2AB)^(1/2)+A, Y=(2AB)^(1/2)+B, Z=(2AB)^(1/2)+A+B 으로 되는 수들이 존재한다.
    ____________________________________________________________________
    A^(1/2)      B^(1/2)   (2AB)^(1/2)    A        B        X        Y        Z
       1            2^(1/2)           2            1        2         3        4         5
    2^(1/2)           1               2            2        1         4        3         5
       1          2(2)^(1/2)         4            1        8         5       12       13
    2(2)^(1/2)       1               4            8        1        12        5       13
      0.1        0.1(2)^(1/2)     0.02        0.01    0.02     0.03    0.04    0.05
    0.1(2)^(1/2)    0.1           0.02        0.02    0.01     0.04    0.03    0.05
    10^(1/2)     20^(1/2)         20          10       20       30       40       50
    20^(1/2)     10^(1/2)         20          20       10       40       30       50
    ____________________________________________________________________
       피타고라스 수를 구하여 왔던 불완전한 방법 3 가지를 아래에 명시한다.  
    첫째방법 : X=2A+1,    Y=2A^2+2A,   Z=2A^2+2A+1.
    둘째방법 : X=4A,       Y=4A^2-1,    Z=4A^2+1.
    셋째방법 : X=A^2-B^2,   Y=2AB,     Z=A^2+B^2.
    이상의 3 가지 방법에서는 모든 정수 쌍들을 구하기 위하여서는, X, Y 를 바꾼 한 쌍의 식이 더 필요함에 비하여, 새로운 공식에서는,  
    X=(2AB)^(1/2)+A, Y=(2AB)^(1/2)+B, Z=(2AB)^(1/2)+A+B 와 같이, A, B 숫자를 서로 바꿈으로서, 간명하고 완전하게 모든 피타고라스 수 쌍들을 구할 수가 있는 것이다.
       n=3 인 경우에는,  
    G^3-6A^(1/3)B^(1/3)G-3(A+B)=0 과 같이 정돈될 수가 있다.
       n=4 인 경우에는,
    G^4-12A^(1/2)B^(1/2)G^2-12A^(1/4)B^(1/4)(A+B)G-2(3AB+A^2+B^2)=0 과 같이 정돈될 수가 있다.
       n 이 5 이상 모든 자연수의 경우에도,  
    {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n 을 풀어서, 이상의 식과 같이 명시할 수는 있다.
       특수한 경우를 제외하고서는 고차 방정식의 일반해를 구할 수가 없는 만큼,  
    A, B 함수인 G 의 일반식은 A^(1/n), B^(1/n) 의 최고차항과 상수 Q 를 사용하여,
    G=F(A,B)=Q{A^(n-2)/n+B^(n-2)/n} 와 같이 표현할 수밖에 없다.
        {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n 과
    X=(AB)^(1/n)G+A, Y=(AB)^(1/n)G+B, Z=(AB)^(1/n)G+A+B 에서,  
    A^(1/n), B^(1/n) 에 kA^(1/n), kB^(1/n) 와 같이, k 곱을 하는 경우에는,
    X, Y, Z, A, B 는 k^nX, k^nY, k^nZ, k^nA, k^nB 와 같이, k^n 곱이 되고,
    G 는 k^(n-2)G=k^(n-2)Q{A^(n-2)/n+B^(n-2)/n} 과 같이, k^(n-2) 곱이 되어야만 한다.
       만약, Q 가 0 이 아닌 유리수가 된다고 가정을 한다면,  
    모든 유리수 A^(1/n), B^(1/n) 에서, G 와 (AB)^(1/n)G, 그리고 X, Y, Z, A, B 는 유리수로만 되어야 하며, 절대로 무리수로는 되어서는 아니 되지만,  
    다음과 같이 X 에 많은 무리수가 나타나게 되는 모순이 발생한다.
    Z=Y+A=X+B 에서,  
    C=B-A 로 두면, Y=X+C 가 된다.
    X^n+Y^n=Z^n 은,
    X^n+(X+C)^n=(X+B)^n 이 되고, 아래와 같이 정돈된다.
    X^n+n(C-B)X^(n-1)+…………+n{C^(n-1)-B^(n-1)}X+C^n-B^n=0.
    n=1 인 경우 : X+(C-B)=0.
    n=2 인 경우 : X^2+2(C-B)X+C^2-B^2=0.
    n=3 인 경우 : X^3+3(C-B)X^2+3(C^2-B^2)X+C^3-B^3=0.
    n=1 인 경우에는, 모든 유리수 C, B 에서, X 는 유리수로 되고,  
    n=2 인 경우에는, 모든 유리수 C, B 에서, X 는 유리수로 되거나, 무리수로 되며,  
    n=3 이상인 경우에는, 모든 유리수 C, B 에서, X 는 무리수로만 나타나고, 유리수로서는 발견된 사실도 전혀 없다.
    Q 가 0 이 아닌 유리수가 된다고 가정함이, 절대 잘못임을 분명하게 보여주는 것이다.
       A=B 인 경우에는,
    {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n 은,
    2{G+A^(n-2)/n}^n={G+2A^(n-2)/n}^n 으로 간명하게 정돈될 수가 있다.
    페르마 정리에서 X, Y, Z 와 A, B 는 반드시 양의 유리수로 존재할 수가 있어야 함으로,  
    간명하게 정돈된 상기 식에서는, 음의 무리수나 허수인 (n-1) 개의 G 와 양의 무리수인 한 개의 G 를 구할 수가 있게 될 것이며, 양의 무리수인 한 개의 G 는  
    G=[{2-2^(1/n)}/{2^(1/n)-1}]A^(n-2)/n 과 같이 나타낼 수 있어야만 한다.
       G=F(A,B) 를 상수인 Q 와 환원상수인 q 로 다음과 같이 변형한다.
    G=Q{A^(n-2)/n+B^(n-2)/n}
      =q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2]{A^(n-2)/n+B^(n-2)/n}.  
    상수 Q=q{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2 와 같이 되고,
    환원상수 q=2F(A,B)/{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}{A^(n-2)/n+B^(n-2)/n} 이 되며,
    환원상수 q 는, A=B 인 경우에는, 항상 q=1 로 환원된다.
       Q=q{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2,  
    X=q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]+A,  
    Y=q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]+B,  
    Z=q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)]+A+B.
       만약, n 이 3 이상의 모든 자연수에서, 양의 유리수 X, Y, Z 쌍이 존재한다고 가정을 한다면, A, B 는 양의 유리수가 될 수밖에 없고,  
    q[{2^(n-1)/n+…+2^(2/n)+2^(1/n)}/2][{A^(n-1)B}^(1/n)+{AB^(n-1)}^(1/n)] 은 무리수가 될 수밖에 없으며, 무리수와 유리수의 합인 상기 식의 X, Y, Z 는 무리수가 될 수밖에 없는 모순이 발생한다. n 이 3 이상의 모든 자연수에서, 양의 유리수 X, Y, Z 쌍이 존재한다고 가정함이 잘못이다.
       음의 무리수인 G 에 의하여, 양의 유리수 X, Y, Z 쌍이 존재한다고 가정을 한다면, 이 때 다시 양의 유리수인 A, B 가 존재할 수 있어야 하고, 양의 무리수인 G 에 의하여서도 식을 만족시켜야만 한다. 그러나 상기의 증명 내용과 같이 X, Y, Z 는 무리수가 될 수밖에 없는 모순이 발생하게 되는 것이다.
       결론을 말한다.
    {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n 에서,
    n 이 1 인 경우에는, G 는 0 이 되고,  
    n 이 2 인 경우에는, G 는 2^(1/2) 이 되어,  
    양의 유리수인 A, B 로서, 양의 유리수인 X, Y, Z 쌍을 만들어 낼 수가 있지만,  
    n 이 3 이상의 모든 자연수에서는, 양의 유리수인 A, B 로서는,  
    {(AB)^(1/n)G+A}^n+{(AB)^(1/n)G+B}^n={(AB)^(1/n)G+A+B}^n 을 만족시키는,  
    양의 유리수인 X, Y, Z 쌍은 절대로 만들어 낼 수가 없게 되는 것이다. 끝.
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